微积分与矩形面积

微积分与矩形面积积分1问题快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题的提出求曲边梯形的面积可以用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然小矩形越多矩形总面积越接近曲边梯形面积图一图二中用四个小矩形逼近图二图三中用九个小矩形逼近图三曲边梯形面积的近似值为当等分间隔无穷多时图四2定积分的定义上式的这个极限称为函数在区间上的定积分记为3定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值图五图五中曲线与坐标轴所围区域的面积为4定积分的性质5原函数与不定积分的概念定义如果在区间内可导函数的导函数为即都有或那么函数就称为或在区间内的原函数例是的原函数是在区间内的原函数原函数并非唯一如C为任意常数不定积分的定义在区间内函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分记为6积分的基本计算由不定积分的定义可知寻找原函数是计算的关键例如微分运算与求不定积分的运算是互逆的因此可以根据求导公式得出积分公式如定积分是特殊条件下的不定积分这称为牛顿莱布尼茨公式例1求解例2求解例3求解结束语发展独立思考和独立创新的一般能力应当始终放在首位而不应当把知识放在首位如果一个人掌握了他的学科的基础理论并且学会了独立思考与工作他必定会找到自己的道路而且比起那些主要以获取细节知识为其

训练内容的人来他一定会更好适应进步和变化爱因斯坦7定积分的基本思想是化整为零以不变代变积零为整再取极限四个部分的几何意义是由围成的曲边梯形的面积代数和矩形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积然后求和以获得定积分的近似值见图试选择一个简单的定积分题目利用定积分近似计算的矩形公式计算之观察后者随着节点的增多计算值与准确值的误差变化图1定积分的几何意义333应用实验本实验研究转售机器的最佳时间问题1定积分定义面积问题资料新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料军队保密教育课件社会工作导论资料在极限部分我们已经讨论抛物线下的面积问题现在我们讨论一个更一般的面积问题fx[ab]yfx设函数在区间上是连续的且是非负的如图1所示如何求由曲线xaxbx与直线与轴所围成的区域的面积呢我们现在有两个问题要解决一是给出面积的定义一是找出计算面积的方法微积分的巨大功绩就在于用干净利落的方法同时解决了这两问题由图1所示的图形称为曲边梯形求曲边梯形的面积的方法与求抛物线下的面积的方法是一样的图1曲边梯形abn把区间分成份分点为小区间的长度分别为过各分点作平行于轴的直线这些直线把曲边梯形分成个小曲边梯形设第个小

矩形面积

曲边梯形的面积为在每个小区间上任取一点即过点引平行于轴的直线交曲线于点点的纵坐标为过作平行于轴的直线与直线交成fxii一个小矩形如图2中的阴影部分所示这个小矩形的面积为即fxii图2小矩形面积把个小矩形的面积加起来就得到曲边梯形面积的一个近似值令符号为希腊字母念作西格玛它表示一种求和运算xSinn当分点无限增多即无限增大而小区间的长度无限缩小时如果和的极限存在我们就很自然地定义曲边梯形的面积为和的极限由此我们提出的问题也就解决了因为我们已经给出了曲边梯形面积的定义并且给出了计算面积的方法但是在一般情况下用求极限的方法去计算面积是太困难了我们还需要找出更为简便的方法这将在后面给出定积分概念的起源与应用定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题定积分的思想在古代数学家的工作中就已经有了萌芽比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积公元263年我国刘徽提出矩形面积

的割圆术也是同一思想在历史上积分观念的形成比微分要早但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前17世纪下半叶有关定积分的种种结果还是孤立零散的比较完整的定积分理论还未能形成直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后计算问题得以解决定积分才迅速建立发展起来牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大的贡献但两人的方法和途径是不同的牛顿是在力学研究的基础上运用几何方法研究微积分的莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上运用分析学方法引进微积分要领的牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学造诣精深但莱布尼兹的表达形式简洁准确胜过牛顿在对微积分具体内容的研究上牛顿先有导数概念后有积分概念莱布尼兹则先有积分概念后有导数概念虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异但殊途同归各自独立地完成了创建微积分的盛业荣耀应由他们两人共享定积分概念的理论基础是极限人类得到比较明晰的极限概念花了大约2000年的时间在牛顿和莱布尼茨的时代极限概念仍不明确因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠有些概念还比较模糊由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论并引发了第二次数学危机经过十八十九世纪一大批数学家的努力特别是柯西首先成功地建

立了极限理论魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义极限概念才完全确立微积分才有了坚实的基础也才有了我们今天在教材中所见到的微积分现代教科书关于书的成语关于读书的成语关于读书的词语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写中有关定积分的定义是由黎曼给出的一从阿基米德的穷竭法谈起引例从曲线与直线所围图形的面积如图在区间上插入个等分点得曲线上点过这些点分别向轴轴引垂线得到阶梯形它们的面积分别为故可得到面积值为为了便于理解阿基米德的思想我们先引入曲边梯形的概念所谓曲边梯形是指这样的图形它有三条边是直线段其中两条是平行的第三条与前两条垂直叫做底边第四条边是一条曲线弧叫做曲边这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点根据这一定义引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积运行程序可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想二曲边梯形的面积计算设连续函数求由曲边直线及轴所围成的曲边梯形的面积如图在区间上任意地插入个分点区间分划成个小区间且记小区间的长度为过每个分点作平行于轴的直线段这些直线段将曲边梯形分划成个窄小的曲边梯形用记第个窄小的曲边梯形的面积由于曲边梯形的高在上是连续变化的在很短小的一段区间上它的变化也很小即可近似地视为不变因此在每个小区间上可用其中某一点的高来近似代替该

小区间上小曲边梯形的变化高用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积具体地对第个窄小曲边梯形在其对应区间上任意地取一点以作为近似高以矩形面积近似即于是很明显地小区间的长度越小近似程度就越好要使得近似程度越好只需都越来越小因此为了得到面积的精确值我们只需将区间无限地细分使得每个小区间的长度都趋向于零若记则每个小区间的长度趋向于零价于从而1三变速直线运动的路程设某物体作直线运动已知速度是时间间隔上的连续函数且求物体在时间间隔内所经过的路程在时间间隔内任意地插入个分点将分划成个时间区间各时间区间的长度依次为记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为在时间间隔物体所经过的路程的近似值为即将物体在上的速度视为不变的以来近似代替很自然地当这一时间间隔段很短时这种近似是合理的于是可给出的近似值为得到的精确值只需让每个小时间间隔段的长度均趋向于零若记则2上述两例尽管其实际意义不同但有两点是一致的1曲边梯形的面积值由高及的变化区间来决定变速直线运动的路程由速度及的变化区间来决定2计算与的方法步骤相同且均归结到一种结构完全相同的和式极限抛开这些问题的具体实际意义抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括我们可给出定积分概念

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